Окружности. Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей

1 Окружности Касательные и секущие, взаимное расположение окружностей Окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от одной точки, которая называется центром окружности Часть плоскости, лежащая внутри окружности, называется кругом Равные отрезки, соединяющие центр с точками окружности ( ), называются радиусами (обозначения: r или R ) Часть окружности, например m (рис 3) называется дугой (обозначение: m или просто ) Прямая MN, проходящая через две точки окружности, называется секущей, а ее отрезок KL, лежащий внутри окружности, хордой L N K m N Рис 3 Хорда, проходящая через центр окружности ( ), называется диаметром (обозначение: d ) Диаметр равен двум радиусам ( d r ) Свойства хорд: ) хорда перпендикулярна диаметру, проходящему через ее середину; и наоборот: диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам; ) произведение отрезков одной из пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой хорды: M M M M (рис4) Рис 4

2 Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания Из точки вне круга можно провести к окружности две касательные: (рис 5) Рис 5 Теорема о секущей и касательной: если из точки, расположенной вне круга, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на длину ее внешней части: M M M (рис 6) Сегментом называется часть круга, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой; отрезок называется высотой сегмента (рис 7, а) Сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, проведенными к концам дуги (рис 7, б) M Рис 6 а Рис 7 б

3 Две окружности называются касающимися, если они имеют одну общую точку Окружности могут касаться внутренним (рис 8, а) или внешним (рис 8, б) образом Окружности, имеющие две общие точки, называются пересекающимися (рис 8, в) Если окружности разных радиусов имеют общий центр, они называются концентрическими (рис8, г) а б в г Рис 8 Углы в круге, их измерение Центральный угол угол, образованный двумя радиусами, или угол с вершиной в центре окружности Величина дуги (ее градусная мера) измеряется величиной центрального угла, опирающегося на эту дугу: n (рис 9) n Рис 9 Вписанный угол угол, образованный двумя хордами, проведенными из одной точки на окружности, или угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается: (рис 30) Таким образом, вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на эту же дугу Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой Рис 30

4 Угол, составленный двумя хордами, пересекающимися внутри круга, измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами, продолженными в обе стороны: ( ) (рис 3, а) Угол, составленный двумя секущими, проведенными из точки вне круга, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами: ( ) (рис 3, б) Угол, составленный касательной и хордой, проведенной из точки касания, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его: n (рис 3, в), таким образом, этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на указанную дугу Угол, составленный касательной и секущей, проведенными из точки вне круга, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами: ( ) ; описанный угол измеряется так же: ( ) (рис 3, г) n a б в г Рис 3 Длины и площади Длина окружности радиусом R выражается формулой: R (8) Площадь круга радиусом R S R (9) Длина дуги окружности радиусом R с центральным углом R l (если измерен в градусах); (0) 80 l R (если измерен в радианах) () Площадь сектора радиусом R с центральным углом R S (если измерен в градусах); () 360 S R (если измерен в радианах) (3)

5 Площадь сегмента круга радиусом R, дуга которого соответствует центральному углу, можно найти как разность площадей сектора и треугольника (рис 3): сегм (4) R S Sсек S sin 80 (запоминать эту формулу необязательно, достаточно знать идею ее вывода) Рис 3 Пример В треугольнике угол равен, угол С равен Окружность с радиусом R касается стороны в точке и проходит через вершину Найти и Решение: Так как угол между хордой и касательной равен вписанному углу, опирающемуся на эту же хорду, а вписанный угол равен половине соответствующего центрального, то (рис 33) R Рис 33 По теореме косинусов из получаем: R R R R cos R ( cos ) Используя формулу cos sin, имеем: R sin 4R sin Rsin По теореме синусов из получаем: sin R sin sin sin sin sin R sin Ответ: sin

6 Пример Из точки, расположенной вне окружности, проведены касательная и секущая Длина касательной равна 6 Секущая высекает на окружности хорду длиной 5 Найти длину отрезка секущей, расположенного вне окружности Решение: Пусть касательная, секущая (рис 34) По теореме о касательной и секущей Пусть Рис 34 x, тогда 5 x Получаем уравнение: 6 (5 x ) x x 5x 6, откуда находим: x 4 (отрицательный ответ не подходит по смыслу задачи) Итак, 4 Ответ: 4 Пример 3 Хорда окружности делится точкой на два отрезка длиной 7 и 8 см соответственно Найти расстояние от этой точки до центра данной окружности, если ее радиус равен 9 см Решение: Имеем: R 9 (рис 35) Построим высоту в Так как равнобедренный, то не только высота, но и медиана (7 8) 7, 5 Из прямоугольного по теореме Пифагора имеем: 9 7,5 4,75; 7,5 7 0,5 Из прямоугольного Ответ: 5 см Рис 35 по теореме Пифагора имеем: 4,75 0,5 5 5 (см)

7 Пример 4 Окружность радиусом R проходит через две смежные вершины квадрата Касательная к окружности, проведенная из третьей вершины квадрата, вдвое больше стороны квадрата Найти сторону квадрата Решение: Введем обозначения: x, M x (рис 36) M K Рис 36 Продолжим отрезок до пересечения с окружностью в точке K Тогда, по теореме о секущей и касательной, K M, те K x 4x, откуда находим: K 4x Значит, K 3x K 90 Значит, K диаметр Из прямоугольного R 0 треугольника K находим: K K, те x 9x 4R, откуда x 5 R 0 Ответ: 5 Пример 5 Две окружности касаются в точке К ним проведена общая (внешняя) касательная, касающаяся окружностей в точках и Докажите, что 90 Решение: Пусть и центры окружностей (рис 37) Тогда и Построим общую внутреннюю касательную данных окружностей, обозначим пересечение касательных точкой M M и M M Рис 37 Рассмотрим два прямоугольных треугольника M и M У этих треугольников сторона M общая, а стороны (радиусы одной окружности), те M M M M Аналогично (из равенства треугольников M и M ) M M, те M M M Получили, что точки,, лежат на окружности с центром в точке M, диаметр этой окружности, а угол опирается на диаметр, следовательно, является прямым, те 90

8 Пример 6 Дан прямоугольный круговой сектор Окружность того же радиуса имеет центр в конце дуги сектора, она разбивает сектор на два криволинейных треугольника В меньший из этих треугольников вписана окружность Найти отношение радиусов вписанной окружности и сектора Решение: Сделаем необходимые дополнительные построения (линии центров и радиусы в точки касания) и введем обозначения. 3 центры. точки касания, 3 (рис 38) Введем обозначение R и выразим через R радиус к вписанной окружности Рассмотрим 3 Имеем: R, 3 R r, 3 R r 3 H Рис 38 Проведем высоту 3 H Тогда H 3 r, H R r Из 3 H имеем: H ( R r r, а из 3 H 3 H 3 ) 3 H 3 H ( R r) ( R r) Итак, получили: ( R r) r ( R r) ( R r), откуда находим: Ответ: 6 r R 6 Значит, r R 6

9 Пример 7 Две окружности с радиусами R и r касаются внешним образом Найти радиус окружности, которая касается этих окружностей и их общей внешней касательной Решение: Пусть,, центры окружностей. точки касания прямой и окружностей, R, r (рис 39) Построим через прямую EF, а через прямую K Тогда EF и K прямоугольники Пусть x Имеем: R r, R x, r x, K R r Из прямоугольных E и F имеем: E E ( R x) ( R x) Rx ; E 3 F F F ( r x) ( r x) rx K Рис 39 Из прямоугольного K имеем: K K, K EF E F Выполнив соответствующие подстановки, получим: ( R r) ( R r) ( Rx rx ) ( R r) 4x( R r) 4x( R Rr r) 4Rr x ( R r) Rr Ответ: ( R r)

10 Вписанные и описанные многоугольники Многоугольник называется вписанным, если все его вершины лежат на окружности (в этом случае говорят, что окружность описана вокруг многоугольника) Многоугольник называется описанным, если все его стороны касаются окружности (в этом случае говорят, что окружность вписана в многоугольник) Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов, центр описанной на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника Для любого треугольника можно построить как вписанную, так и описанную окружность Уже было сказано, что в правильном треугольнике центры этих окружностей совпадают; центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, те гипотенуза является диаметром описанной окружности В четырехугольник можно вписать окружность лишь в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы Из всех параллелограммов лишь в ромб (в частности, в квадрат) можно вписать окружность; ее центр лежит на пересечении диагоналей Около четырехугольника можно описать окружность лишь в том случае, если суммы противоположных углов равны (те равны 80) Из всех параллелограммов лишь около прямоугольника (в частности, квадрата) можно описать окружность; центр ее лежит на пересечении диагоналей Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда она равнобочная В выпуклом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея): (рис 40) Рис 40 Пример 8 Найти площадь описанного равнобедренного треугольника, если одна из его сторон точкой касания делится на отрезки 3 и 4, считая от вершины Решение: Пусть равнобедренный треугольник, K точка касания, H высота, K 4, K 3 (рис 4) K H Рис 4

11 По свойству касательных, проведенных из одной точки, K H 4 Тогда H 8 Найдем высоту H из прямоугольного треугольника H по теореме Пифагора: H H (3 4) 4 33 Теперь легко вычислить: S H 4 33 Ответ: 4 33 Пример 9 Основания трапеции равны 4 и 6 см Найти радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около нее, если известно, что эти окружности существуют Решение: Описать окружность около трапеции можно только при условии, что трапеция является равнобедренной, те (рис 4) E K Рис 4 Вписать окружность в трапецию можно только при условии, что В трапеции E и K высоты 0, E K 6, E E , E E Из рис 4 видно, что E r, где r радиус вписанной окружности, откуда r 4 Найдем площадь треугольника : E 86 S 64 Пользуясь формулой (8) для площади треугольника, найдем радиус R окружности, описанной около : R 4S Радиус окружности, описанной около, и есть радиус окружности, описанной около трапеции 5 4 Ответ: 4 и см 4

12 Пример 0 В окружность вписан равнобедренный треугольник с основанием b и углом при основании Вторая окружность касается первой окружности и основания треугольника в его середине и расположена вне треугольника Найти радиус r второй окружности (рис 43) Решение: Воспользуемся тем, что K (так как и K b b пересекающиеся хорды) Так как, tg, K r, то получаем: b b b tg r, откуда r ctg 4 4 K Ответ: b ctg 4 Рис 43 Пример К окружности, вписанной в треугольник с периметром 8 см, проведена касательная параллельно основанию треугольника Длина отрезка касательной, заключенного между боковыми сторонами треугольника, равна см Найти основание треугольника Решение: Пусть M, P, N точки касания (рис44) Тогда M N, N P, P M (как касательные, проведенные из одной точки) Положим M N x, N P y, P M z Интересующее нас основание x y Периметр треугольника равен x y z 8, а потому x y z 9 K E M P N Рис 44

13 Проведем касательную E Тогда треугольники и E подобны, а E P потому их стороны относятся как периметры: E, те P P E ; (5) x y 8 P E E E E ( K KE) E ( M EP) Здесь было принято, что M K, а KE EP Значит, P E ( M ) ( E EP) M P z, а тогда равенство (5) можно переписать в виде: z Получена система уравнений: x y 9 x y z 9; z x y 9 Положив b x y, получим: b z 9; z, b 9 откуда находим: b 3 или b 6 Ответ: 3 или 6 см