Бесконечно малые MG-деформации поверхности положительной гауссовой кривизны с краем при стационарной вдоль края первой квадратичной форме Текст научной статьи по специальности «Математика»
В работе изучается поведение поверхности гауссовой кривизны с краем, относительно бесконечно малых деформаций (при этих деформациях сохраняется поточечно сферический образ поверхности, вариация гауссовой кривизны задается на поверхности).
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Жуков Дмитрий Александрович
Текст научной работы на тему «Бесконечно малые MG-деформации поверхности положительной гауссовой кривизны с краем при стационарной вдоль края первой квадратичной форме»
Раздел I. Алгебра и геометрия
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ MG-ДЕФОРМАЦИИ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ С КРАЕМ ПРИ СТАЦИОНАРНОЙ ВДОЛЬ КРАЯ ПЕРВОЙ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЕ
трехмерном евклидовом пространстве E .
Предполагается, что поверхность принадлежит классу D3 , р > 2 , поле деформации класса
D2p,p> 2, функция а е /J, /(. р > 2 . Поверхность взаимно-однозначно отображается на одно-
связную область, граница которой принадлежит классу С^, 0 < ц < 1.
В §1 вводится понятие бесконечно малой MG-деформации, тривиальной деформации. В §2 выводится комплексное уравнение MG-деформации и другие вспомогательные формулы. §3 посвящен преобразованию краевого условия. Основные результаты работы сформулированы в виде теоремы, которая доказывается в §4.
Теорема. Пусть односвязная поверхность класса D3 , р > 2, гауссовой кривизны
К>к0>0, к0= const, с краем, подвергнута бесконечно малым MG-деформациям. Пусть при этом вдоль края поверхности первая квадратичная форма поверхности стационарна. Тогда:
а) бесконечно малая MG-деформация является тривиальной тогда и только тогда, когда а = О ;
б) если а ё 0, то бесконечно малая MG-деформация существует и единственна тогда и только тогда, когда а удовлетворяет трем условиям
где w[,w'2,w'3 - полная система решений сопряженной однородной задачи А'.
§1. Понятие бесконечно малой MG-деформации
Пусть S: г = Tin. V) - поверхность в Е3, (u,v)eG, G - плоская область. Будем считать, что S, начиная с некоторого момента, деформируется так, что принимает определенную форму и взаимно-однозначно и непрерывно отображается на область G. Обозначим множество получаемых таким образом поверхностей St:rt= R(u,v,t), t е [ОД], причем S = (а3 - а^и + а2У . Наше краевое условие приняло вид:
Итак, Вг е L 2,р > 2; из того, что г = r(ul,u2) е D3 р,р > 2 , <reDlp,p> 2 следует, что
-—(а3 +a1)^gyÍK е СДГ), 0 < v < 1, АеСу( Г), 0 < v < 1. Очевидно, что Л поэтому (в силу 2 К
[2, 231]) можем считать, что |Л|=1. Таким образом, выполнены все условия задачи А [1, 179], следовательно, задача (15)-(18) является задачей А.
§ 4. Доказательство теоремы
Подсчитаем индекс к функции X, который является индексом задачи.
A = gnúv + g22v2-guú2 -gl2m> + i(gl2ú2 +g22úv + guúv + gnv2) = = g22^2 +iúv) + gu(-ú2 +iitv)+gl2i(ú2 +v2) =
= (v + iü) |22v + guiú +gl2i(v- iü) 7]
Введем обозначения: л, = v + iü. X2= g22v + gniú + gl2i(y-iü). Из [2, 94] известно ,что если А — • Л2, то к = Indi = IndA1 +IndA2. Подсчитаем индекс функции .
Индекс функции обладает свойством (см. напр. [2]): если \f\>\h |, то Ind(f + h) = Indf. Пусть Л3 =g22v + guiú, Л4 =g12iv + g12ú .
Сравним | Л3 \= ,j(g22v)2 +(guú)2 и \Л4\= yj(g12v)2 +(g12ú)2 . Чтобы сравнить
\=y¡(8 22 ) 2 V 2 +(gn)2 ú 2 , 1Л 1= л/( gl2)2 V ^(gl2)2 ú 2 нужно сравнить (g 22)2+(gll)2 и (gi2)2+(gi2)2=2(g12)2.
Из курса дифференциальной геометрии известно, что gng22 - (gu)2 > 0 • следовательно,
2gng22 >2(g12f. (19)
С другой стороны (g22 -gп)2 > 0, т. е. (g22)2 - 2gng22 + (£и)2 > 0, отсюда следует, что
Из формул (19) и (20) следует, что | Я^ |>| Я4 | и IndÁ2 =1пёЯъ.
h = + g\\iü = g-пУ + ftl^ + g22iü + g\\iü - gll^ - g22iü = = (g22 + gll)^ + (#22 + g\\)iü
Обозначим Л5 =(g22 +gn)v + (g22 +gn)iú , Á6 =-gnv-g22iú ; | Л5 |>| Л6 |, так как
V(g 22 + gl l)2 v 2+(g 22+ gl l)2 U 2 >V(gl l)2 v 2+(g 22 )2 « 2 .
Следовательно IndA^ = Indl5.
¿5 = (g22 +g 11 + (g22 + gll= (g22 + gll)(v + iü) ■ Это означает, что IndÁ5 =Ind(g22 + gn) + Ind(v + iü) Ind(g22 + gn) = 0, так как Re(g22 + ííi i) > 0 • окончательно имеем: Ind/12 =IndA3 =IndA5 = Ind(y + iü).
Получается, что к = IndÁ = Ind\ + IndÁ2 = 2Ind(v + iü).
Так как мы имеем дело с поверхностью положительной гауссовой кривизны с краем взаимно-однозначно отображающуюся на плоскую область G, то граница области G гомеоморфна единичной окружности, поэтому, не нарушая общности, будем считать, что граница области G - единичная окружность, и = cos <р, V = sin(р, 0 < <р < 2л, следовательно н - -sin ср. v - cos(р. Используя формулу подсчета индекса из [2, 96], находим:
1 fcosfí>(-sinfí>) -(-sm<x>)cos т , If, K = IndX = 2Ind(v + iu) = 2— -—-р—-—-¡
2Л J «in ffl + mc (!) Л J
2Л J sin <^ + COS <р Л
При а = 0 выполнены условия теоремы 4.5 из [1], из которой следует, что при а = 0 бес-
конечно малая MG-деформация является только тривиальной, т. е. у = const. Докажем обратное утверждение.
Пусть у = const, тогда из равенств dy = д1ydu + д2ydv и (3) следует, что д>-у = ак^дк7 = 0, j = 1,2 ,
следовательно, ак. = 0, j = 1,2, отсюда, в силу (11), получаем, что <т = 0 . Таким образом, мы доказали пункт а) теоремы.
При а ^ 0 задача (15)-(18) удовлетворяет условию теоремы 4.10 из [1], из которой следует справедливость пункта б) теоремы.
1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. 512 с.
2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1958. 544 с.
3. Фоменко В.Т. О единственности решений проблем Кристоффеля и Минковского для овалоидов // Сб. науч. тр. по межвуз. программе «Университеты России - фундаментальные исследования». Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 1998. С. 73-95.
О.Б. Кожевников, Е.С. Арапина-Арапова ИНВЕРСНЫЕ КЛИФФОРДОВЫ ПОЛУГРУППОИДЫ
Факторгруппоид произвольной полугруппы является полугруппой. В настоящей работе рассматривается весьма широкий класс полугруппоидов, на которых не выполняется аналог этого полугруппового свойства. Иными словами, частичный факторгруппоид полугруппоида не всегда является полугруппоидом. Изучаемый в работе класс является подклассом класса полугруппоидов, рассмотренного ранее в [4].