Движение тела, брошеного под углом к горизонту
При решении задач с телом, брошенным под углом к горизонту, очень важно помнить, что это движение состоит из двух: тело летит горизонтально, и его скорость постоянна, и одновременно тело сначала взлетает, а потом падает, и движение в вертикальной плоскости является сначала равнозамедленным, а потом равноускоренным. Кроме того, помогает то, что в высшей точке полета вертикальная составляющая скорости тела обращается в ноль. Если всегда помнить про этот факт – не проблема решить любую задачу.
Задача 1. Два тела брошены под углом и к горизонту с одинаковой начальной скоростью. Найти отношение дальностей полета тел и максимальных высот подъема.
Для первого тела максимальная высота подъема:
В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости равна нулю:
Время полета тела до апогея:
Тогда максимальная высота:
Аналогично для второго тела:
Таким образом, отношение высот подъема равно:
Теперь займемся дальностями полетов тел. Тело будет лететь по горизонтали с постоянной скоростью в течение времени и пролетит в итоге , где :
Аналогично для второго тела:
Определим отношение длин полетов:
Задача 2. Какой начальной скоростью должна обладать сигнальная ракета, выпущенная под углом к горизонту, чтобы она вспыхнула в наивысшей точке своей траектории? Время горения запала ракеты 6 с.
В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости равна нулю:
Отсюда можно определить скорость:
Задача 3. Два тела брошены с земли под углами и к горизонту из одной точки. Каково отношение сообщенных им начальных скоростей , если тела упали на землю также в одной точке?
Время полета первого тела до верхней точки:
Полное время полета:
Вертикальная составляющая скорости тела:
Дальность полета тела:
Аналогично для второго тела:
Время полета второго тела до верхней точки:
Полное время полета:
Вертикальная составляющая скорости тела:
Дальность полета тела:
Возьмем отношение дальностей и приравняем к 1, так как тела шлепнулись в одном месте:
Задача 4. Мальчик бросает мяч со скоростью м/с под углом в в сторону стены, стоя на расстоянии 4 м от нее. На каком расстоянии от стены должен встать мальчик, чтобы поймать мяч? Удар мяча о стенку считать абсолютно упругим.
Сначала выясним, в каком месте траектории находился мяч, когда ударился о стенку: был ли он на первой ее половине, или же он уже прошел точку максимального подъема? От этого зависит угол, под которым мяч подлетел к стенке, а раз удар абсолютно упругий, значит, мячик и отскочил под этим же углом. Поэтому сначала найдем середину траектории мяча, как если бы стенки не было.
Время полета мяча до верхней точки:
Вертикальная составляющая скорости мяча:
Дальность полета мяча до верхней точки траектории:
Итак, мячик не долетел до верхней точки траектории, теперь можно изобразить стенку и траекторию полета мяча:
Из рисунка видно, что, поскольку угол падения равен углу отражения, то траектория отскока мячика будет полностью повторять его траекторию полета без стенки, только в виде отражения:
Как мы выяснили ранее, мячику лететь до верхней точки траектории 5 м, значит, всего он пролетел бы 10 метров, но стенка помешала. Траектория оказалась разбита ею на два куска: 4 и 6 м, 4 до стенки, и 6 – после отскока. Таким образом, мальчику надо отступить на 2 метра, чтобы поймать мяч.
Ответ: отступить на 2 м, расстояние от стены – 6 м.
Задача 5. Тело брошено со скоростью 20 м/с под углом к горизонту. Найти координаты точек траектории тела, в которых вектор скорости составляет с горизонтом угол , если начало координат – точка бросания тела?
Горизонтальная составляющая скорости тела сохраняется постоянной на всем пути, она равна . Скорость будет составлять угол в с горизонтом только тогда, когда вертикальная составляющая скорости будет равна горизонтальной составляющей по модулю, так как скорость может составлять с горизонтом как положительный, так и отрицательный угол – когда тело уже прошло верхнюю точку траектории и снижается. То есть подходящих нам точек траектории у тела 2: на взлете и при падении.
Это произойдет в момент времени, равный:
Очевидно, что координата тела по оси не будет отличаться для обеих точек. Найдем ее:
Координату по оси первой точки (на взлете) найдем, подставив известное время в формулу движения с постоянной скоростью:
Координата второй точки по оси получится, если найденное только что расстояние вычесть из полного пути, пройденного телом – ведь точки расположены на траектории симметрично. Полный путь тело пройдет за полное время движения, а оно равно удвоенному времени взлета:
Тогда искомая координата:
Теперь давайте все это посчитаем:
Задача 6. С вершины горы бросают камень под углом к горизонту. Определить начальную скорость камня, если он упал на расстоянии 20 м от точки бросания. Угол наклона горы к горизонту также .
Удобно ввести систему координат так, чтобы ось совпадала со склоном горы, а ось была бы направлена перпендикулярно склону. Тогда, в такой системе координат, тело будет двигаться с ускорением как по оси , так и по оси . Начальная скорость тела будет направлена под углом к склону, и ее можно разложить на составляющие:
Таким же образом разложим и ускорение свободного падения:
Когда тело доберется до верхней точки траектории, его вертикальная составляющая скорости обратится в ноль:
Откуда найдем время полета до верхней точки:
Полное время полета – вдвое больше:
За полное время тело, двигаясь равноускоренно, пролетит вдоль оси расстояние:
По условию , поэтому
Задача 7. Из пушки выпустили последовательно 2 снаряда со скоростью м/с: первый – под углом к горизонту, второй – под углом (азимут один и тот же). Найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.
Чтобы снаряды столкнулись в воздухе, а произойти это может только на второй половине траектории при заданных углах, нужно, чтобы были равны координаты снарядов по оси и по оси .
Раскладываем скорости по осям:
Из условия равенства нулю вертикальной составляющей скорости получаем половинку времени полета первого снаряда: