9 класс. Геометрия. Длина окружности и площадь круга. Правильный многоугольник.
Напомним определение: правильным многоугольником называется такой выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
На Рис. 1 приведен фрагмент правильного многоугольника А1 … Аn.
Все стороны многоугольника равны между собой:
an = A1A2 = A2A3 = … = An-1An = AnA1.
Все углы фигуры также равны между собой, причем .
Определение: прямая, имеющая только одну общую точку с окружностью, называется касательной к этой окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
На Рис. 2 прямая m – касательная к окружности с центром в точке О. Точка А – точка касания.
Единственность точки касания доказывается теоремой, утверждающей, что m – касательная к заданной окружности тогда и только тогда, когда радиус, проведенный в точку А, перпендикулярен этой прямой.
Биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
На Рис. 3 приведен ÐА и его биссектриса – луч АО (обозначена на Рис. 3 как l). Если точка О принадлежит биссектрисе, то она равноудалена от сторон угла, т. е. ОВ = ОС (перпендикуляры, опущенные из точки О на стороны угла есть расстояния от точки до сторон угла).
Обратное утверждение: если точка О равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе. Доказывается это утверждение очень просто, если принять во внимание равенство прямоугольных треугольников АОВ и АОС: биссектриса у них общая и меньшие катеты равны.
Еще одно следствие равенства указанных треугольников: отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой (АВ = АС).
Теперь дадим определение вписанной в многоугольник окружности и приведем примеры.
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности.
Особенностью данного случая является тот факт, что серединные перпендикуляры, медианы, биссектрисы и высоты треугольника лежат на одних и тех же прямых, которые пересекаются в одной точке О. Эта точка является центром вписанной окружности. Точка О равноудалена от сторон любого из углов треугольника, т. к. одновременно принадлежит любой из указанных биссектрис, т. е.
ОА1 = ОВ1 = ОС1 = r.
Кроме того, ОА1^ ВС, ОВ1^ ВС, ОС1^ ВС.
Следующую иллюстрацию проведем на примере окружности, вписанной в правильный четырехугольник, т. е. в квадрат АВСD. АС и ВD – диагонали квадрата, являющиеся одновременно биссектрисами его углов. Точка О их пересечения, по свойствам биссектрис, равноудалена от всех сторон квадрата. Если из точки О опустить перпендикуляры на стороны квадрата, то полученные отрезки (OK, OL, OM, ON) будут равны между собой и равны радиусу вписанной окружности (см. Рис. 5),
OK ^ AD, OL ^ AB, OM ^ BC, ON ^ CD.
Следующее утверждение ограничивает для нас множество многоугольников, в которые можно вписать окружность.
В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если биссектрисы всех его углов имеют общую точку.
У приведенного пятиугольника биссектрисы всех углов пересекаются в точке О. Следовательно, эта точка равноудалена от всех сторон пятиугольника, являясь центром вписанной окружности. При этом
OH1 = OH2 = … = OH5 = r.
OH1^ A1A2, OH2^ A2A3, … OH5^ A4A5.
Это утверждение уже было доказано нами ранее, но здесь мы кратко восстановим цепочку рассуждений, используемую при этом доказательстве.
Рассмотрим фрагмент правильного многоугольника, изображенный на Рис. 7.
Предположим, что биссектрисы l1 и l2 параллельны. Тогда по свойствам параллельных прямых, сумма внутренних односторонних улов равна 180°, то есть Þ α = 180° (все обозначения показаны на рисунках). Последнее равенство говорит о том, что смежные стороны многоугольника должны лежать на одной прямой, что противоречит условию. Значит, . Отсюда следует, что если соединить точку О с остальными вершинами многоугольника, то полученные отрезки также будут биссектрисами соответствующих углов (доказать это утверждение для следующей ближайшей вершины многоугольника можно, опираясь на равенство треугольников, например ∆ОA2A1 и ∆ОA2A3, по двум сторонам и углу между ними).
Еще раз вернемся к свойствам точки О – точки пересечения биссектрис соседних углов правильного многоугольника.
Так как в точке О биссектрисы соседних углов пересекаются попарно, то можно утверждать, что все биссектрисы многоугольника пересекаются в этой точке, т. е. .
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну. На Рис. 8 дан фрагмент правильного многоугольника.
1. Как было показано выше, существует точка О – точка пересечения всех биссектрис данного многоугольника.
2. Эта точка равноудалена от всех сторон многоугольника. Как мы помним, расстояние от точки до стороны – это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную сторону (перпендикуляры на Рис. 8 обозначены ОН1, ОН2, … ОНn). Если построить окружность радиуса ОН1 = ОН2 = … = ОНn = r с центром в точке О, то все стороны многоугольника будут касаться этой окружности (по свойствам касательной к окружности). Следовательно, в данный многоугольник можно вписать окружность.
3. Поскольку точка О – единственная точка пересечения биссектрис, расстояние от этой точки до любой из сторон также единственно, то и вписанная в данный многоугольник окружность может быть только одна.
4. Можно привести и более подробное доказательство пункта 3, а именно: пусть существует и другая окружность, вписанная в данный многоугольник, центр ее будет располагаться в некоторой точке О1. Тогда этот центр будет равноудален от всех сторон окружности, то есть лежать на пересечении биссектрис, т. е. будет совпадать с точкой О. Раз центры окружностей (а вместе с ними и радиусы) совпадают, то и сами окружности совпадут.
Рассмотрим несколько следствий из доказанной теоремы.
Радиус вписанной окружности – ОН1. Треугольник ∆A1A2О – равнобедренный, поскольку его боковые стороны есть биссектрисы соседних углов многоугольника, а значит, углы ÐA1 и ÐA2 при основании данного треугольника равны как половины углов правильного многоугольника. Далее ОН1^ А1 А2, т. е. является высотой данного треугольника, а по свойствам равнобедренного треугольника – и его медианой, опущенной на основание. Следовательно, Н1 – середина стороны А1 А2.
Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в него. Эта точка называется центром правильного многоугольника.
Итак, в данном уроке мы рассмотрели окружность, вписанную в правильный многоугольник, доказали ее существование и единственность и вывели следствия из этого доказательства.