2.2 Катушки и трансформаторы со стальными сердечниками

1. Цепь со сталью представляет собой электрическую цепь, магнитный поток которой полностью или частично заключен в одном или нескольких сердечниках.

Особенности цепей со сталью:

а) нет прямой пропорциональности между магнитным потоком Ф и током i; это приводит к искажению форм кривых тока и э.д.с.; индуктивность не является постоянной величиной и зависит от силы тока.

u = i ⋅ r + L d i d t ,

справедливое для катушек без стального сердечника, должно быть заменено уравнением

u = i ⋅ r + d Ψ d t = i ⋅ r − e = i ⋅ r + e ′ ,

где ЭДС самоиндукции

Действующее значение э.д.с., индуктированной в катушке, определяется при помощи уравнения

где Фm – амплитудное значение магнитного потока;

б) замыкание потока через сталь связано при переменном токе с затратой энергии, превращаемой в тепло.

2. Потери в стали. Потери мощности на магнитный гистерезис определяются по формуле

P G = α ⋅ B m ⋅ f 100 + β ⋅ B m 2 ⋅ f 100 . (2)

Для индукций в пределах от 1 до 1,6 Тл (от 10 000 до 16 000 Гс) можно вместо предыдущей формулы пользоваться формулой

P G = σ г и с т ⋅ B m 2 ⋅ f 100 . (3)

Потери на вихревые токи выражаются формулой

P G = σ в и х р ⋅ B m 2 ⋅ ( f 100 ) 2 . (4)

В последних формулах: P/G – потери в Вт, отнесенные к 1 кг стали, f – частота в Гц, Вm – амплитуда магнитной индукции в Тл.

Значения коэффициентов, зависящие от качества стали и толщины листов, приведены в таблице.

Толщина листов в

Удельные потери при Вm = 1 Тл в

Обыкновенная динамная сталь

Трансформаторная высоколегированная сталь

3. Катушка со сталью. В катушке со сталью различают: Ф0 – основной магнитный поток, линии магнитной индукции которого замыкаются через стальной сердечник, ФS – поток рассеяния, линии которого замыкаются через воздух.

Для подсчета э.д.с. рассеяния вводится в расчет индуктивность рассеяния

L S = Ψ S I 0 = w ⋅ Φ S I 0 , (5)

равная отношению потокосцепления потока рассеяния к току холостого хода.

Индуктивное падение напряжения, обусловленное магнитным потоком рассеяния,

U ˙ S = j I ˙ 0 ⋅ ω L S = j I ˙ 0 ⋅ x S . (6)

Напряжение, приложенное к катушке со сталью,

где U ≈ U 0 = E ' = – E – электродвижущая сила самоиндукции, созданная основным магнитным потоком.

P с т = E I 0 sin α , (8)

здесь α – угол магнитного запаздывания.

Активная и реактивная составляющие тока катушки соответственно равны

4. Эквивалентные схемы для реактивной катушки даны на рис. 1 и 2.

Проводимости g0 и b0 в параллельных ветвях схемы рис. 2 определяются из условий

Сопротивления в последовательном варианте схемы рис. 3 определяются из условий

r 0 = P с т I 2 ,         x 0 = z 0 2 − r 0 2 , (11)

здесь r0 – активное сопротивление, определяемое потерями в стали, x0 – индуктивное сопротивление, обусловленное основным магнитным потоком.

На рис. 3 начерчена векторная диаграмма катушки со стальным сердечником.

5. Трансформатор. Для трансформатора

где k – коэффициент трансформации, w1 и w2 – число витков первичной и вторичной обмоток трансформатора

Магнитный поток трансформатора, работающего при постоянном по амплитуде приложенном напряжении, является практически неизменным при изменении нагрузки и его принимают равным магнитному потоку при холостом ходе трансформатора.

6. Уравнение магнитодвижущих сил трансформатора (рис. 4)

w 1 I ? 1 + w 2 I ? 2 = w 1 I ? 0 . (13)

Основной магнитный поток определяется из соотношения

Φ 0 = w 1 I ? 1 + w 2 I ? 2 R м , (14)

где Rм – магнитное сопротивление основному магнитному потоку.

7. Уравнения трансформатора. Токи и э.д.с. в трансформаторе связаны дифференциальными уравнениями

u 1 = i 1 r 1 + L 1 S d i 1 d t + w 1 d Φ 0 d t = i 1 r 1 + L 1 S d i 1 d t − e 1 , (15)

e 2 = − w 2 d Φ 0 d t = i 2 r 2 + L 2 S d i 2 d t + u 2 , (16)

здесь L1S – индуктивность, обусловленная магнитным потоком рассеяния первой катушки, L2S – то же, второй катушки, e1 и e2 – э.д.с., индуктируемые основным магнитным потоком Ф0 в первичной и вторичной обмотках

e 1 = w 1 d Φ 0 d t ,           e 2 = − w 2 d Φ 0 d t .

При синусоидальном напряжении последние уравнения можно записать в символической форме

U ? 1 = I ? 1 r 1 + j ω L 1 S I ? 1 + E ′ 1 , (17)

где Z 2 – комплексное сопротивление нагрузки во вторичной цепи.

8. Приведенный трансформатор. Приведенным называется трансформатор, у которого расчетное число витков одной из обмоток принято равным числу витков другой обмотки. Истинные и приведенные сопротивления должны быть в соотношениях (21).

При приведении вторичной обмотки к первичной имеем

I ? ′ 2 = − I ? 2 k , (20)

где штрихи относятся к приведенным величинам.

Коэффициент приведения равен коэффициенту трансформации

Эквивалентная схема трансформатора изображена на рис. 5.

Упражнения и задачи

Задача 1 . Известно, что потери в стали при f1 = 50 Гц Р1ст = 1,5 Вт/кг, а при f2 = 100 Гц Р2ст = 4 Вт/кг.

Разделить потери в стали: на вихревые токи и на магнитный гистерезис, считая, что магнитная индукция остается неизменной.

Потери в стали на магнитный гистерезис при Bm = const прямо пропорциональны частоте f (формулы 2 и 3), а потери на вихревые токи пропорциональны квадрату частоты (формула 4), поэтому

P 1 с т = a ⋅ f 1 + b ⋅ f 1 2 = a ⋅ 50 + b ⋅ 2500 = 1,5       В т к г , P 2 с т = a ⋅ f 2 + b ⋅ f 2 2 = a ⋅ 100 + b ⋅ 10000 = 4       В т к г ,

здесь a и b постоянные коэффициенты, зависящие от сорта стали и величины магнитной индукции.

Решая эти два уравнения, найдем

Теперь найдем искомые величины

при f1 = 50 Гц

P 1 г и с т = a ⋅ f 1 = 0,02 ⋅ 50 = 1       В т к г , P 1 в и х р = b ⋅ f 1 2 = 2 ⋅ 10 − 4 ⋅ 2500 = 0,5       В т к г ,

при f2 = 100 Гц

P 2 г и с т = a ⋅ f 2 = 0,02 ⋅ 100 = 2       В т к г , P 2 в и х р = b ⋅ f 2 2 = 2 ⋅ 10 − 4 ⋅ 10000 = 2       В т к г .

Задача 2 . Катушка со стальным сердечником включена на напряжение U1 = 100 В и по ней проходит ток I1 = 5 А, отстающий по фазе от напряжения на угол φ1, причем cosφ1 = 0,7. Эта же катушка при том же напряжении, но без стального сердечника потребляет ток I2 = 10 А, отстающий от напряжения на угол φ2, причем cosφ2 = 0,9.

Определить потери в стали и потери в меди и построить векторную диаграмму при наличии стального сердечника.

С помощью векторной диаграммы определить r0 и x0 в схеме замещения катушки со стальным сердечником.

При отсутствии сердечника катушка имеет только потери в меди, равные

I 2 2 ⋅ r = U 1 I 2 cos φ 2 .

Отсюда определяется активное сопротивление обмотки катушки

r = U 1 cos φ 2 I 2 = 9       О м .

При наличии стального сердечника в катушке расходуется мощность

P 1 = U 1 I 1 cos φ 1 = 350     В т .

Часть этой мощности

P м = I 1 2 ⋅ r = 225       В т

идет на покрытие потерь в меди и другая часть – на потери в стали

P с т = P 1 − P м = 125       В т .

Эквивалентная схема катушки со сталью, не имеющей рассеяния, дана на рис. 6, а.

На рис. 6, б начерчена векторная диаграмма катушки со стальным сердечником.

Из векторной диаграммы следует, что активная составляющая приложенного напряжения

U 1 cos φ 1 = I 1 ( r + r 0 ) ,

r 0 = U 1 cos φ 1 I 1 − r = 100 ⋅ 0,7 5 − 9 = 5       О м .

Из диаграммы видно, что

U 1 sin φ 1 = I 1 x 0

x 0 = U 1 sin φ 1 I 1 = 100 ⋅ 0,715 5 = 14,3       О м .

Величина э.д.с., наводимой в катушке, будет

E = I ⋅ z = I ⋅ r 0 2 + x 0 2 = 75,6       В .

Задача 3 . Сердечник однофазного трансформатора набран из обыкновенной динамной стали толщиной d = 0,35 мм, имеет прямоугольное сечение 150×100 мм 2 и длину средней линии магнитной индукции 120 см. Изоляция между листами занимает 10% сечения. Первичная обмотка его состоит из w1 = 1500 витков и включена на напряжение U1 = 6000 В. Определить потери в стали. Частота переменного тока f = 50 Гц.

Указание . Воспользовавшись формулой (7), определить магнитный поток Фm. Зная активное сечение сердечника S = 0,9×15·10·10 –4 м 2 , найти магнитную индукцию Bm. Потери в стали найдутся по формулам (3) и (4).

Ответ : Pст = 710 Вт.

Задача 4 . Однофазный трансформатор имеет первичное напряжение U1 = 3300 В и вторичное U2 = 220 В. Сердечник его имеет сечение S = 100 см 2 и вес G = 350 кг и набран из листов электротехнической стали Э11 толщиной d = 0,35 мм. Максимальная магнитная индукция в сердечнике Bm = 0,8 Тл (8000 Гс). Определить необходимое число витков первичной и вторичной обмоток, ток холостого хода и коэффициент мощности трансформатора при холостом ходе. Частота переменного тока f = 50 Гц.

Из формулы (7) найдем, что

w 1 = U 1 4,44 Φ m f = 1860       и         w 1 = w 1 ⋅ U 2 U 1 = 124.

Средняя длина магнитопровода, равная длине средней линии магнитной индукции, найдется из формулы: G = S·l·d, где плотность стали d = 7,6 г/см 3 .

Отсюда l = 4,6 м.

Магнитодвижущая сила (амплитудное значение) будет равна

то ток намагничивания

I μ = F 2 ⋅ w 1 = 1460 2 ⋅ 1860 = 0,555       А .

Потери в стали определяем по формулам (2) и (4)

I a = P с т U 1 = 730 3300 = 0,22       А .

Ток холостого хода

I 0 = I μ 2 + I a 2 = 0,595     А c o s φ 0 = I a I 0 = 0,37.

На рис. 7 приведена векторная диаграмма холостого хода трансформатора.

Задача 5 . В катушке со стальным сердечником расходуется мощность P = 0,2 кВт при напряжении U = 100 В и токе I = 10 А. Активное сопротивление обмотки r = 0,5 Ом и реактивное сопротивление рассеяния xS = 1 Ом. Частота тока f =50 Гц.

Определить из векторной диаграммы намагничивающий ток Iμ, сопротивления r0 и x0, и составляющую приложенного напряжения E', преодолевающую э.д.с., которая индуктируется в обмотке катушки основным магнитным потоком, пронизывающим сердечник.

При построении диаграммы предполагать, что ток изменяется по гармоническому закону.

На рис. 1 дана эквивалентная схема катушки со сталью имеющей рассеяние, и на рис. 8 – ее векторная диаграмма.

Из соотношения P = UIcosφ найдем, что cosφ = 0,2.

O b = I ( r + r 0 ) = U cos φ ,

b c = U sin φ = 97,9,

с другой стороны, bc = ae + ef = Ix0 + IxS, отсюда

E ′ = O a 2 + a e 2 = I r 0 2 + x 0 2 = 88,5     В .

Задача 6 . По заданным на рис. 9, а петле магнитного гистерезиса и синусоидальной кривой магнитного потока построить кривую изменений тока во времени в обмотке катушки со сталью и определить потери мощности на гистерезис.

Частота f = 50 Гц. Активным сопротивлением обмотки пренебречь. На рис. 9, а буквой ψ обозначено полное число сцеплений потока со всеми витками обмотки (полное потокосцепление обмотки).

Указание . На рис. 9, б по заданной петле магнитного гистерезиса и кривой магнитного потокосцепления ψ построена кривая тока i.

Полученная кривая тока i должна быть разложена в гармонический ряд одним из графических способов. При этом будут найдены амплитуды и фазы гармонических составляющих относительно выбранного начала разложения. На основе результатов графического разложения на рис. 9, б нанесены первая гармоника тока i1 и эквивалентная синусоида тока iЭ.

Действующее значение эквивалентного тока найдется по формуле

I Э = I 1 2 + I 3 2 + I 5 2 .

Действующее значение приложенного напряжения определится по формуле (7).

Расходуемая мощность может быть определена по формуле

где I1 – ток основной гармоники, φ1 – его фаза были определены выше из графического разложения. Других слагаемых формула мощности не имеет, так как приложенное напряжение синусоидально.

Эта мощность, очевидно, и равна потерям на магнитный гистерезис.

Наконец, можно найти фазу эквивалентного тока из соотношения

Ответ : P = 35,4 Вт; на основе разложения кривой в ряд имеем: I1m = 0,46 А, I3m = 0,1 А, I5m = 0,02 А, φ1 = 57°, φЭ = 57,83°.

Задача 7 . Однофазный трансформатор с коэффициентом трансформации k = w1: w2 = 2 с разомкнутой вторичной обмоткой приключен к сети с напряжением U = 220 В. Полагая, что трансформатор изготовлен из обыкновенной динамной стали (удельный вес 7,8 г/см 3 ), толщина листов которого d = 0,5 мм, определить потери в стали, величину тока в обмотке и построить векторную диаграмму. Потоком рассеяния пренебречь.

Число витков первичной обмотки w1 = 74, активное сечение сердечника S = 100 см 2 , средняя длина сердечника lср = 150 см. Частота f =50 Гц.

Указание . При определении магнитной индукции в стали трансформатора в первом приближении можно считать напряжение на зажимах равным э.д.с. обмотки трансформатора. Для определения намагничивающей составляющей тока необходимо при расчете магнитной цепи воспользоваться кривой намагничивания для листовой стали Э11. Ответ : Pст = 757 Вт, I0 = 26,6 А.

Задача 8 . Однофазный трансформатор U1/U2 = 6600/220 в с номинальной мощностью S = 50 кВА имеет потери холостого хода Pх = 380 Вт и к.п.д. при полной нагрузке η = 96,15% с cosφ2 = 0,8.

Определить активное сопротивление первичной и вторичной обмоток, считая, что первичные и вторичные потери в меди одинаковы.

Известно, что ток холостого хода имеет незначительную величину по сравнению с номинальным током. Поэтому при холостом ходе можно пренебречь потерями в обмотке (потерями в меди) и считать, что потери холостого хода приблизительно равны потерям в стали;

Общие потери мощности при нагрузке трансформатора равны

P м + P с т = ( 1 − η ) S cos φ 2 100 = 1540       В т .

P м = 1540 − 380 = 1160     В т , P 1 м = P 2 м = 1160 2 = 580     В т .

Номинальный ток в первичной цепи при нагрузке

активное сопротивление первичной обмотки

r 1 = P 1 μ I 1 2 = 10,1       О м .

Так как по условию активное сопротивление первичной обмотки равно приведенному сопротивлению вторичной

r 1 = r ′ 2 = r 2 ⋅ k 2 ,

k = 6600 220 = 30,

r 2 = 10,1 30 2 = 0,011       О м .

Задача 9 . Опыты холостого хода и короткого замыкания однофазного трансформатора дали следующие результаты: холостой ход – U1х = 400 В, I1х = 0,4 А, Р1х = 20 Вт, короткое замыкание – U1к = 32 В, I1к = 5 А, Р1к = 80 Вт.

Данный трансформатор повышающий и имеет коэффициент трансформаций

Предполагая активное и реактивное сопротивление рассеяния первичной обмотки равными соответственным приведенным сопротивлениям вторичной обмотки (r1 = r'2 = r и x1S = x2S = x2), определить их величины.

При холостом ходе можно пренебречь падением напряжения в первичной обмотке. При коротком замыкании можно пренебречь намагничивающей составляющей первичного тока.

На рис. 5 изображена эквивалентная схема трансформатора.

Из опыта холостого хода, пренебрегая падением напряжения в первичной обмотке, имеем

z x = U 1 x I 1 x = 1000       О м , c o s φ x = P 1 x U 1 x ⋅ I 1 x = 0,125, r x = z x cos φ x = 125       О м , x x = z x sin φ x = 992       О м .

Пренебрегая намагничивающей составляющей тока, эквивалентная схема трансформатора при коротком замыкании примет вид, изображенный на рис. 10, и тогда

z к = U 1 к I 1 к = 6,4       О м ,         c o s φ 1 к = P 1 к U 1 к ⋅ I 1 к = 0,5, r 1 + r ′ 2 = z к c o s φ 1 к = 3,2       О м ,           x 1 S + x ′ 2 S = z к sin φ 1 к = 5,54       О м .

Задача 10 . Ко вторичным зажимам трансформатора предыдущей задачи приключен приемник энергии, имеющий cosφ2 = 0,92 (φ2 > 0), при этом напряжение на вторичных зажимах U2 = 6000 В, сила тока во вторичной цепи I2 = 0,25 А.

Найти напряжение на первичных зажимах – U1, силу тока в первичной обмотке – I1, коэффициент полезного действия – η и коэффициент мощности – cosφ1.

Найти потери в стали и меди при нагрузке трансформатора.

Замечание . Из предыдущей задачи, пренебрегая падением напряжения в первичной обмотке, имеем

r 0 ≈ r x = 125       О м ,         x 0 ≈ x x = 992       О м , z _ 0 = r 0 + j x 0 = 1 2 5 + j 992 = 1000 e j 82,82 °       О м .

Задачу проще всего решить, если применить символический метод к эквивалентной схеме трансформатора (рис. 5).

Приведенные величины вторичного напряжения, тока и сопротивлений будут

U ′ 2 = U 2 ⋅ k = 400       В , I ′ 2 = I 2 k = 3,75       А , z ′ 2 н = U 2 I ′ 2 = 106,6       О м , r ′ 2 н = z ′ 2 н cos φ 2 = 98       О м , x ′ 2 н = z ′ 2 н sin φ 2 = 41,6       О м .

Напряжение E' на параллельных ветвях будет

E ? ′ = I ? ′ 2 ⋅ [ ( r ′ 2 н + r ′ 2 ) + ( x ′ 2 н + x ′ 2 S ) ] = 373,8 + j 166,5 = 409 e j 24,01 °     В ,

где I'2 направлен по действительной оси и, следовательно,

I ? ′ 2 = I ′ 2 = 3,75       А , I ? 0 = E ? ′ z _ 0 = 0,41 e − j 58,82 ° = 0,21 − j 0,35       А , I ? 1 = I ? ′ 2 + I ? 0 = 3,96 − j 0,35 = 3,97 e − j 5,05 ° .

U ? 1 = I ? 1 z _ 1 + E ? ′ = 383,5 + j 174,6 = 421 e j 24,48 °       В .

Сдвиг фаз между напряжением на входе трансформатора и первичным током

Мощность, подводимая к трансформатору,

P 1 = U 1 I 1 cos φ 1 = 1450       В т .

Мощность, расходуемая в приемнике энергии,

P 2 = U 2 I 2 cos φ 2 = 1380       В т .

Коэффициент полезного действия трансформатора

Потери в стали при нагрузке трансформатора

P с т = I 0 2 r 0 = 21       В т .

Потери в меди при нагрузке трансформатора

P м = P 1 − P 2 − P с т = 49       В т .

Задача 11 . К трансформатору задачи 9 приложено напряжение U1 = 420 В.

Найти величину напряжения E2 на вторичных зажимах при холостом ходе, пренебрегая при этом падением напряжения в первичной обмотке. Показать возможность такого пренебрежения.

При холостом ходе можно положить U1 ≈ E1 = 420 В. Тогда

Пренебречь падением напряжения в первичной обмотке можно, так как

I 0 z 1 E 1 ⋅ 100 % = 0,41 ⋅ 3,2 420 = 0,3 % ,

т.е. падение напряжения в первичной обмотке составляет всего 0,3% от приложенного напряжения.

Катушка со стальным сердечником подключена к источнику синусоидального напряжения. При напряжении источника U = 100 В ток в катушке I = 0,1 А, а потребляемая мощность P = 1,58 Вт. Активное сопротивление провода обмотки RК = 6 Ом, индуктивное сопротивление, обусловленное потоком рассеяния, XS = 3 Ом.

1. Мощность потерь в стали сердечника.

2. Намагничивающий IP и обусловленный потерями в стали Iа токи.Скачать решение задачи Катушка со стальным сердечником подключена к источнику

Катушка с числом витков w = 500 и магнитопроводом из трансформаторной стали включена в сеть с напряжением U = 220 В (частота 50 Гц). Ток катушки I = 10 А, активная мощность Р = 1500 Вт. Сопротивление обмотки из медного провода постоянному току Rм = 10 Ом. Амплитуда потока в магнитопроводе Фm =10 –3 Вб.

Составить параллельную схему замещения катушки и построить векторную диаграмму.Скачать решение задачи Параллельная схема замещения катушки со сталью и векторная диаграмма

Магнитопровод катушки имеет сечение S = 6 см 2 , массу М = 1,4 кг. Число витков обмотки w = 1200. Активное сопротивление обмотки Rм = 30 Ом, индуктивное сопротивление рассеяния XS = 60 Ом. Напряжение питания U = 220 В, частота 50 Гц.

Определить ток в катушке. Известна зависимость удельных потерь P0 (Bm) и удельной мощности намагничивания Q0 (Bm).Скачать решение задачи Определение тока в катушке по известной зависимости удельных потерь и удельной мощности намагничивания

Типовой расчет НИУ МЭИ

РАСЧЕТ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Часть II Катушка со стальным сердечником в цепи переменного тока