Тема 3. Планиметрия: вычисление длин и площадей

Треугольник — фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Треугольник называется равнобедренным , если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника . Вершина угла равнобедренного треугольника, лежащая напротив основания, называется вершиной равнобедренного треугольника . Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, проведенные к его основанию, совпадают. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Высоты (медианы, биссектрисы), проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.

Равносторонний треугольник. Треугольник, все три стороны которого равны, называется правильным (равносторонним) треугольником.

Пусть a, h, S, R, r – соответственно длина стороны, высота, площадь, радиус описанной и радиус вписанной окружности правильного треугольника. Тогда имеют место следующие соотношения:

Прямоугольный треугольник. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным . В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой , а две другие стороны называются катетами этого треугольника.

Обозначим через c гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC, через и — проекции катетов a и b на гипотенузу AB, а через — высоту, проведенную из вершины прямого угла C этого треугольника. Тогда имеют место следующие соотношения:

Основное тригонометрическое тождество и следствия из него:

Тригонометрические функции дополнительных углов являются сходственными:

Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы противоположны:

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника. Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника и равна ее половине. Три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и точка пересечения делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (центре вписанной окружности). Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону, называется высотой треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (центре описанной окружности).

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, уменьшенной на удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними ( теорема косинусов ):

Это надо знать: ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

Параллелограмм. Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. Справедливы следующие утверждения:

– Две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник — параллелограмм.

– Противоположные стороны четырехугольника попарно равны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник — параллелограмм.

– Противоположные углы четырехугольника попарно равны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник — параллелограмм.

– Диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам тогда и только тогда, когда этот четырехугольник — параллелограмм.

Прямоугольник. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Так как прямоугольник по определению является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Кроме того, прямоугольник обладает следующим характеристическим свойством:

– Диагонали параллелограмма равны тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — прямоугольник.

Ромб. Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны. Так как ромб по определению является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма. Кроме того, ромб обладает следующими характеристическими свойствами:

– Диагонали параллелограмма делят его углы пополам тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — ромб.

– Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — ромб.

Параллелограмм Вариньона. Середины сторон произвольного (в том числе невыпуклого или даже пространственного) четырехугольника являются вершинами параллелограмма — параллелограмма Вариньона .

Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям четырехугольника. Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника, а площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Если исходный параллелограмм — прямоугольник, то параллелограмм Вариньона — ромб. Если исходный параллелограмм — ромб, то параллелограмм Вариньона — прямоугольник. Если исходный параллелограмм — квадрат, то параллелограмм Вариньона — квадрат.

Трапеция. Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями , а две другие стороны — боковыми сторонами . Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции . Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной трапецией . Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной трапецией . Трапеция обладает следующими свойствами:

– Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме.

– Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности большего и меньшего оснований.

– Диагонали трапеции равны тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная.

– Углы при каждом основании трапеции равны тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная.

– Сумма противолежащих углов в равнобедренной трапеции равна

– В равнобедренной трапеции расстояние от вершины одного основания до проекции противоположной вершины на прямую, содержащую это основание, равно средней линии.