§3. Семейства множеств, замкнутые относительно данной операции.

Пусть - некоторое фиксированное множество, - функция произвольного числа переменных, каждое из которых пробегает какое-нибудь семейство подмножеств множества .

Для простоты изложения будем считать, что - функция 2-х переменных, т.е. областью её определения является декартово произведение . Семейство называется замкнутыми относительно , если

Теорема 1. Для каждого семейства существует такое семейство , что

Семейство замкнуто относительно операции ,

Семейство - наименьшее из семейств, обладающих свойствамиa) и b), т.е. если для выполнены условия

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть - множество всех семейств , для которых выполняется (1). , т.к. . Искомым семейством будет произведение .

Семейство , обладающее свойствами a) – c), определяется однозначно. Действительно, если обладает этими свойствами, то из минимальности семейства (свойствоc)) получает . Аналогично, , т.к. также обладает свойствомc). Следовательно, , мы будет обозначать это семейство .

Теорема 2. Для произвольных семейств , , выполняются следующие условия:

Д о к а з а т е л ь с т в о. I) Следует из теоремы 1 (свойство a)). II) следует из того, что замкнуто относительно и содержит , значит, в силу минимальности . Для доказательстваIII заметим, что из условия I следует , с другой стороны, замкнуто относительно , поэтому .

Теорема 1 и теорема 2 имеют свои аналоги для случая, когда дана не одна функция , а произвольное семейство таких функция, и - наименьшее семейство, содержащее и замкнутое относительно всех функций. Областями определения этих функций могут быть последовательности подмножеств или даже семейства подмножеств множества . Мы не будет останавливаться на этих обобщениях.

Пример 1. Пусть - обозначает сложение множеств, т.е. . Наименьшее семейство множеств, содержащее и замкнутое относительно , обозначим символом . Это семейство состоит из конечных сумм вида , где , и - последовательность множеств, принадлежащих , т.е. .

Аналогично, если функция задаётся равенством , то наименьшее семейство, содержащее и замкнутое относительно , обозначим символом . Это семейство состоит из произведений вида , где , , .

Пример 2. Решеткой множеств, порождённой семейством , назовем наименьшее семейство, содержащее и замкнутое относительно обеих операций , из примера 1.

Теорема 3. Решетка множества, порождённая , совпадает с семейством , причем .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем вначале вторую часть теорема, т.е. .

Пусть , т.е. , где , и для .

Докажем индукцией по , что . Для имеем , а , т.к. . Предположим, что теорема верна для .

Пусть - произведение , где , и для . Обозначим . По предположению индукции и, значит, , где , и для .

Поскольку , получаем отсюда, что . Таким образом, . Аналогично доказывается обратное включение.

Теперь докажем, что - решетка множеств, порожденная множеством . Ясно, что семейство содержится в этой решетке, т.к. операции сложения и умножения не выводят нас из решетки. С другой стороны,

следовательно, семейство замкнуто относительно операций сложения и умножения и потом содержит решетку, порождённую .

§4. - аддитивные и - мультипликативные семейства множеств.

Семейство множеств называется - аддитивным (соответственно - мультипликативным), если (соответственно ) для каждой последовательности .

Из теоремы 1, теоремы 2 (§3), обобщающих на случай функций, определенных на последовательностях множеств, вытекают следующие две теоремы.

Теорема 1. Для каждого семейства существует наименьшее - аддитивное и - мультипликативное семейство , содержащее .

Теорема 2. Для любых семейств , , :

Выполняя операции и на последовательностях, члены которых принадлежат , мы получаем множества, принадлежащие . Это позволяет произвести классификацию множеств, принадлежащих : для произвольного семейства множеств обозначим через семейство множеств вида , где , и через семейство всех множеств вида , где . Очевидно, что .

Можно определить - аддитивное семейство как такое семейство, для которого , а - мультипликативное как такое, для которого . Т.к. семейство и - аддитивно и - мультипликативно, то

а т.к. , то справедлива теорема.

Теорема 3. Семейство содержит в качестве подмножеств каждое из семейств

Вообще говоря, никакие два из этих семейств не совпадают; кроме того, они не исчерпывают всего семейства .

Опишем теперь метод, позволяющий решить, принадлежит ли данное множество, определенное при помощи высказывательной функции, семейству .

Пусть - высказывательная функция, переменные пробегают множество . Положим , , где каждый из символов обозначает либо квантор всеобщности, либо квантор существования.

Теорема 4. Если для произвольных множество принадлежит , то .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Проведем индукцию по числу кванторов.

1) Если , то и тогда по условию.

2) Если теорема верна для квантора, то каждое из множеств принадлежит . Если - квантор существования, то , а если - квантор всеобщности, то . В обоих случаях и теорема доказана.

Наиболее интересный пример семейства получим если в качестве возьмём семейство замкнутых множеств произвольного топологического пространства . В этому случае называется семейством борелевских множеств пространства .

Пример. Докажем, что множество предельных точек последовательности непрерывных функций есть множество типа .

Для этого запишем условие Коши сходимости последовательности вещественных чисел , , …, ,…:

Отсюда видно, что множество предельных точек последовательности непрерывных функций , , . fn, …, имеет вид:

Т.к. (при фиксированных индексах) замкнуто (это следует из непрерывности рассматриваемых функций), то есть множество типа .