Анализ универсального высказывания (задачи с кратким ответом). Ответы и решения.

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

Решение. Преобразуем выражение – заменим импликацию дизъюнкцией. Получим:

(¬(x ∈ А)) \/ ( (x ∈ P) ) \/ (x ∈ Q)

Выражение ((x ∈ P) ) \/ (x ∈ Q) истинно только для тех x, которые лежат либо в P, либо в Q, иными словами – для x ∈ R = P ∪ Q =[5, 21]. Выражение

тождественно истинно тогда и только тогда, когда A ⊆R. Поэтому наибольшая длина отрезка A достигается, когда A = R = [25, 40]. Длина отрезка A в этом случае равна 40 – 25 = 15.

Ответ 15

№2 На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 35] и Q = [40, 52]. Известно, что границы отрезка A - целочисленные точки и для отрезка A, формула

( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) \/ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

Решение Преобразуем выражение – заменим импликацию дизъюнкцией. Получим:

(¬(x ∈А)) \/ ( (x ∈ P) ) \/ (x ∈ Q)

Выражение ((x ∈ P) ) \/ (x ∈ Q) истинно для тех только тех x, которые лежат либо в P, либо в Q, иными словами – для x ∈ R = P ∪ Q =[25, 35] ∪ [40, 52]. Выражение

тождественно истинно тогда и только тогда, когда A ⊆ R. Так как A – отрезок, то A ⊆ R тогда и только тогда, когда A ⊆ P или A ⊆ Q. Так как отрезок Q длиннее отрезка P, то наибольшая длина отрезка A достигается, когда A = Q = [40, 52]. Длина отрезка A в этом случае равна 52–40 = 12.

Ответ 12

№3 На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 45] и Q = [40, 52].

Известно, что границы отрезка A - целочисленные точки и для отрезка A, формула

( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) \/ ( (x ∈ А) → (x ∈ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

Решение Преобразуем выражение. Заменим импликации дизъюнкциями:

( ¬(x ∈ А) ∨ (x ∈ P) ) ∨ ( ¬(x ∈ А) ∨ (x ∈ Q) )

Упростим это выражение, используя переместительный и сочетательный законы для дизъюнкции, а также закон поглощения. Получим:

¬(x ∈ А) ∨ (x ∈ P) ∨ ¬(x ∈ А) ∨ (x ∈ Q)

¬(x ∈ А) ∨ ¬(x ∈ А) ∨ (x ∈ Q) ∨ (x ∈ P)

¬(x ∈ А) ∨ (x ∈ Q) ∨ (x ∈ P)

Последнее утверждение тождественно истинно тогда и только тогда, когда A ⊆ P ∪ Q. Наибольший такой отрезок - это отрезок [25, 52]. Его длина равна 52-25=27.

Ответ 27

№4 На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 45] и Q = [40, 52].

Известно, что границы отрезка A - целочисленные точки и для отрезка A, формула

( (x ∈ P) → (x ∈ A) ) \/ ( (x ∈ Q) → (x ∈ A) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Какова наименьшая возможная длина отрезка A?

( (x ∈ P) → (x ∈ A) ) \/ ( (x ∈ Q) → (x ∈ A) )

( (x ∈ P) ∧ (x ∈ Q) ) → (x ∈ A)

(см. пример 3 здесь). Последнее утверждение тождественно истинно тогда и только тогда, когда P ∩ Q ⊆ A. Наименьший отрезок A, удовлетворяющий этому условию, - это отрезок P ∩ Q = [40, 45]; его длина равна 45-40 = 5.

Ответ 5

№5 На числовой прямой даны два отрезка: P = [20, 50] и Q = [25, 36]. Известно, что границы отрезка A - целочисленные точки и для отрезка A формула

( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∧ ( (x ∈ Q) → (x ∈ A) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Сколько есть отрезков A, удовлетворяющих указанным выше условиям?

Решение Первый элемент конъюнкции ( (x ∈ A) → (x ∈ P) ) истинен для всех x, если A ⊆ P. Второй элемент конъюнкции ( (x ∈ Q) → (x ∈ A) ) истинен для всех x, если Q ⊆ A. Таким образом, конъюнкция тождественно истинна тогда и только тогда, когда Q ⊆ A ⊆ P. Поэтому левая граница отрезка A может находиться в одной из 6 точек – от 20 до 25, а правая граница отрезка A может находиться в одной из 15 точек - от 36 до 50. Следовательно, существует 6*15 = 90 возможных отрезков, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ 90

№6 Множества A, P, Q состоят из натуральных чисел: при этом P = , Q = . Известно, что формула

( (x ∈ P) → (x ∈ A) ) \/ (¬(x ∈ A) → ¬(x ∈ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Какова наименьшая возможная сумма элементов множества A?

Решение Формула тождественно истинна тогда и только тогда, когда (P ∩ Q) ⊆ A (см. задачу №4). Поэтому наименьшая возможная сумма элементов множества A - это сумма элементов множества P ∩ Q = , т.е. 24+48 =72.

Ответ 72

№7 Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14&5 = 11102&01012 = 01002 = 4.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

тождественно истинна, т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х?

Решение Преобразуем выражение – заменим импликации дизъюнкциями. Получим:

Раскроем скобки и заменим отрицания неравенств равенствами:

Имеем: 34 = 1000102 и 22 = 101102. Поэтому формула

ложна тогда и только тогда, когда двоичная запись числа x содержит 1 хотя бы в одном из следующих двоичных разрядов: 100000 (32), 10000 (16), 100 (4) и 10 (2).

Чтобы формула (*) была истинна при всех таких x необходимо и достаточно, чтобы двоичная запись числа A содержала 1 во всех этих разрядах. Наименьшее такое число – это число 32+16+4+2 = 54.

Ответ 54

№8 Пусть m, n – натуральные числа. Через ДЕЛ(m, n) обозначим утверждение «m делится на n». Например, ДЕЛ(10, 2) истинно, а ДЕЛ(10, 3) ложно.

Для какого наименьшего натурального числа А формула

( ДЕЛ(x, A) → ДЕЛ(x, 20) ) ∧ ( ДЕЛ(x, A) → ДЕЛ(x, 30) ) (*)

тождественно истинна, т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х?

Решение Конъюнкция тождественно истинна, если тождественно истинны оба ее члена. ко Формула ДЕЛ(x, A) → ДЕЛ(x, 20) тождественно истинна, если A кратно 20 (иными словами, A делится на 20). Аналогично, формула ДЕЛ(x, A) → ДЕЛ(x, 30) тождественно истинна, если A кратно 30. Таким образом, A должно делиться и на 20, и на 30. Наименьшее такое число – это наименьшее общее кратное чисел 20 и 30 – число 60.

Ответ 60

№9 * На числовой прямой даны четыре отрезка: P1 = [10, 20], P2 = [60, 90], Q1 = [17, 41] и Q2 = [42, 62]. Известно, что для отрезка A, формула

( (x ∈ A) → (x ∈ P1) ) ∨ ( (x ∈ A) → (x ∈ P2) ) ∧ ( (x ∈ A) → (x ∈ Q1) ) ∨ ( (x ∈ A) → (x ∈ Q2) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

Решение Попробуйте решить самостоятельно

Ответ 3

№10* Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14&5 = 11102&01012 = 01002 = 4.

Сколько существует таких неотрицательных целых чисел А, что формула

тождественно истинна, т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х?

Решение. Попробуйте решить самостоятельно